Question

如图，三棱锥P-ABC，D为AC的中点，PA=PB=PC=

5

，AC=2

2

，AB=

2

，BC=

6

． 
（1）求证：PD⊥底面ABC；
（2）求二面角P-AB-C的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件条件出PD⊥AC，PD⊥BD，由此能证明PD⊥底面ABC．
（2）过点D作DE⊥AB，连结PE，由三垂线定理知∠PED是二面角P-AB-C的平面角，由此能求出二面角P-AB-C的正切值．

解答： （1）证明：连结BD，
∵三棱锥P-ABC，D为AC的中点，PA=PB=PC=

5

，
AC=2

2

，AB=

2

，BC=

6

，
∴PD⊥AC，AB⊥BC，
∴BD=

1

2

AC=

2

，PD=

5-2

=

3

，
∴BD²+PD²=PB²，∴PD⊥BD，
∵AC∩BD=D，
∴PD⊥底面ABC．
（2）解：由（1）知PD⊥底面ABC，
过点D作DE⊥AB，连结PE，
由三垂线定理知∠PED是二面角P-AB-C的平面角，
∵D是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=

1

2

BC=

6

2

，
∴tan∠PED=

PD

DE

=

3

6 2

=

2

．
∴二面角P-AB-C的正切值为

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查直线与底面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．