Question

如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2所示．

（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M-ADE的体积为

2

12

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）AD⊥BM?BD⊥面ADM?

BM⊥AM 面ADM⊥面AMB

?在矩形ABCD中，AB=2且AD=1；
（2）三棱锥M-ADE的体积就是三棱锥E-ADM的体积，而三角形ADM面积已知，则可以算出三棱锥E-ADM的高h，又由（1）可知，BM⊥面ADM，通过h与BM的比值可确定E点在BD上的位置．

解答： （本小题满分12分）
（1）连接BM，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD中点，AM=BM=

2

，
由勾股定理得BM⊥AM；                  
折起后，平面ADM⊥平面ABCM，且平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM；
得BM⊥平面ADM，
又AD?平面ADM，所以AD⊥BM；          
（2）在△BDM中，作EF∥BM交DM于F．
（1）中已证明BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM，EF是三棱锥E-MAD的高，
VM-ADE=VE-MAD=

1

3

(

1

2

AD•DM)•EF=

2

12

，∴EF=

2

2

，
∴△DMB中，BM=

2

，且EF∥BM，
∴EF为中位线，E为BD的中点．

点评：折叠问题一般是重点分析折叠后未变的平行与垂直关系，线段的长，角度的不变的量；作为探究性问题，先把结论当成已知，然后结合已知条件列出方程求解，若有符合题意的解，则结论成立，否则不成立．