Question

已知，对于任意的多项式f（x）与任意复数z，f（z）=0?x-z整除f（x）．利用上述定理解决下列问题：
（1）在复数范围内分解因式：x²+x+1；
（2）求所有满足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1的正整数n构成的集合A．

Answer 1

考点：因式分解定理,单位根及其应用

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）解方程x²+x+1=0解得两个根ω，ω²（ω=-

1

2

+

3

2

i），进而可得x²+x+1=（x-ω）（x-ω²），
（2）f（x）=x²ⁿ+xⁿ+1由（1）x²+x+1=0有两个根ω，ω²，（ω=-

1

2

+

3

2

i），可知ω³=1，进而可证得当n=3k+1，或3k+2时，满足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1（其中k∈N）．

解答： 解：（1）令x²+x+1=0解得两个根ω，ω²，这里ω=-

1

2

+

3

2

i
所以x2+x+1=(x-ω)(x-ω2)=(x+

1

2

-

3

2

i)(x+

1

2

+

3

2

i)
（2）记f（x）=x²ⁿ+xⁿ+1．x²+x+1=0有两个根ω，ω²，
这里ω=-

1

2

+

3

2

i，且ω³=1，
当n=3k+1，k∈N时，
f（ω）=ω²ⁿ+ωⁿ+1=ω²+ω+1=0，
f（ω²）=ω⁴ⁿ+ω²ⁿ+1=ω+ω²+1=0，
故此时满足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1，
当n=3k+2，k∈N时，
f（ω）=ω²ⁿ+ωⁿ+1=ω+ω²+1=0，
f（ω²）=ω⁴ⁿ+ω²ⁿ+1=ω²+ω+1=0，
故此时满足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1，
当n=3k，k∈N时，
f（ω）=ω²ⁿ+ωⁿ+1=1+1+1≠0，
f（ω²）=ω⁴ⁿ+ω²ⁿ+1=1+1+1=0，
故此时不满足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1，
综上所述：所有满足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1的正整数n构成的集合A={n|n=3k+1或n=3k+2，k∈N}

点评：本题考查的知识点是因式分解定理，复数的运算法则，单位根的应用，其中正确理解对于任意的多项式f（x）与任意复数z，f（z）=0?x-z整除f（x）．是解答的关键．