Question

已知函数f（x）=x³+ax²+b的图象上一点P（1，0），且在P点处的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；
（3）在（1）的结论下，关于x的方程f（x）=c在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法,函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义求出a，根据函数过（1，0）点，求出b，即可求出函数f（x）的解析式；
（2）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求出函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；
（3）构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）因为f′（x）=3x²+2ax，
所以曲线在P（1，0）处的切线斜率为f′（1）=3+2a，即3+2a=-3，所以a=-3．
又函数过（1，0）点，即-2+b=0，所以b=2．
所以f（x）=x³-3x²+2．---------------------------------------------------（2分）
（2）由f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x．
由f′（x）=0，得x=0或x=2．
①当0＜t≤2时，在区间（0，t）上f′（x）＜0，f（x）在[0，t]上是减函数，
所以f（x）_max=f（0）=2，f（x）_min=f（t）=t³-3t²+2．---------------------------（4分）
②当2＜t＜3时，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况见下表：

x	0	（0，2）	2	（2，t）	t
f′（x）	0	-	0	+	+
f（x）	2	↓?	-2	↑?	t3-3t2+2

--------------------------------------------------------------------（6分）
f（x）_min=f（2）=-2，f（x）_max为f（0）与f（t）中较大的一个．
f（t）-f（0）=t³-3t²=t²（t-3）＜0．
所以f（x）_max=f（0）=2．--------------------------------------------------（8分）
（3）令g（x）=f（x）-c=x³-3x²+2-c，g′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
在x∈[1，2）上，g′（x）＜0；在x∈（2，3]上，g′（x）＞0．要使g（x）=0在[1，3]上恰有两个相异的实根，则

g(1)≥0 g(2)＜0 g(3)≥0

，
解得-2＜c≤0．-------------------------------------------（12分）

点评：本题考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识．考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，属于综合题型．