Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，点E、F分别是AB、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求线段EF的长；
（Ⅱ）求异面直线EF与CB₁所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：分别以DA、DC、DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与CB₁所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）解：分别以DA、DC、DD₁为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
∵E（2，1，0），F（1，0，2），
∴

EF

=（-1，-1，2），
∴线段EF的长|

EF

|=

6

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

EF

=（-1，-1，2），
∵C（0，2，0），B₁（2，2，2），
∴

CB1

=（2，0，2），
设异面直线EF与CB₁所成角为θ，
则cosθ=|cos＜

EF

，

CB1

＞|=|

-2+0+4

6 • 8

|=

3

6

．
∴异面直线EF与CB₁叫所成角的余弦值为

3

6

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．