Question

设函数f（x）=lnx+

1

2

ax²-ax．
（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求a的值，并求出此时函数的单调区间；
（2）若函数f（x）＞0对x∈[1，2]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）将x=2代入导函数求出a的值，再将a=-

1

2

代入导函数求出x的值，从而求出单调区间；
（2）由函数在[1，2]上递增，得到f（1）最小，由f（1）＞0解得即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

1

x

+ax-a，
∴f′（2）=

1

2

+2a-a=0，
解得：a=-

1

2

，
∴f′（x）=

1

x

-

1

2

x+

1

2

=0，
解得：x=-1（舍），x=2，
∴f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减；
（2）由（1）得：f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f（x）min=f（1）=

1

2

a-a＞0，
解得：a＜0，
∴a的范围是：（-∞，0）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．