Question

已知f（x）=|

x

x2+1

+

1

3

-a|+2a，x∈[0，24]，其中a是参数，且a∈[0，

3

4

]，若把f（x）的最大值记作M（a）．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（2）求函数M（a）解析式；
（3）求函数M（a）值域．

Answer 1

考点：基本不等式,函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用导数研究函数t（x）的单调性极值与最值即可得出．
（2）令g（t）=|t+

1

3

-a|+2a，t∈[0，

1

2

]．对a分类讨论即可得出；
（3）利用（2）的结论和一次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，
∴t′=

-(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，
令t′=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，t′＞0，此时函数t（x）单调递增；当1＜x≤1时，t′＜0，此时函数t（x）单调递减．
∴当x=1时，函数t（x）取得极大值，即最大值，t（1）=

1

2

．
又t（0）=0，t（24）＞0，∴t（x）的最小值为0．
∴t∈[0，

1

2

]．
（2）令g（t）=|t+

1

3

-a|+2a，t∈[0，

1

2

]．
当a-

1

3

＜

1

4

时，即0≤a＜

7

12

，[g（t）]_max=g(

1

2

)=|

5

6

-a|+2a=a+

5

6

．
当a-

1

3

≥

1

4

时，即

7

12

≤a≤

3

4

，[g（t）]_max=g（0）=|

1

3

-a|+2a=3a-

1

3

．
∴M(a)=

a+ 5 6 ，0≤a＜ 7 12 3a- 1 3 ， 7 12 ≤a≤ 3 4

．
（3）当时a∈[0，

7

12

)，M(a)∈[

5

6

，

17

12

)；
当a∈[

7

12

，

3

4

]时，M（a）∈(

17

12

，

23

12

]．
∴M（a）的值域为[

5

6

，

23

12

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数t（x）的单调性极值与最值的方法、一次函数的单调性、含绝对值的函数等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．