Question

正方形ABCD的边长为1，AE=1，DE=

2

，CE=

3

．点P₁，P₂分别是线段AE、CE（不包括端点）上的动点，且线段P₁P₂∥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：P₁P₂⊥BD；
（Ⅱ）求四面体P₁P₂AB体积的最大值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC，DB．AC为平面AEC与平面ABCD的交线，由P₁P₂∥平面ABCD，推断出P₁P₂∥AC又平面ABCD为正方形，可知AC⊥BD．进而推断出P₁P₂⊥BD．
（2））根据CD，DE，CE的值，推断出CD⊥DE．由CD⊥AD，推断出CD⊥平面ADE，进而可知CD⊥AE，AB⊥AE，分别求得BE，CE，判断出CB⊥BE．根据CB⊥BE，CB⊥AB，推断uCB⊥平面ABE．过P₂做P₂O⊥BE与O点，连接OP₁由P₂O⊥BE，进而可知P₂O⊥平面ABE．连接OP₁，可知OP₁⊥AE，设AP₁=x，则OP₁=P₁B=1-x，表示出OP₂，进而表示出四面体P₁P₂AB的体积，根据二次函数的性质求得最大值．

解答： 证明（1）连接AC，DB．AC为平面AEC与平面ABCD的交线，
∵P₁P₂∥平面ABCD，
∴P₁P₂∥AC
又∵平面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
∴P₁P₂⊥BD

（2）∵CD=1，DE=

2，

CE=

3

．
∴CD⊥DE．
∵CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥AE，AB⊥AE，
∵AB⊥AE∴BE=

2

，
∵BE=

2

，CE=

3

，
∴CB⊥BE．
∵CB⊥BE．
CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE．
过P₂做P₂O⊥BE与O点，连接OP₁
∵P₂O⊥BE，
∴P₂O⊥平面ABE．
连接OP₁，
∴OP₁⊥AE
设AP₁=x，则OP₁=P₁B=1-x，
△BCE中，

OP2

BC

=

OE

BE

=

1-x

1

∴OP2=1-xVP2P1AB1=

1

3

×

1

2

×AP1×AB×OP2=

1

6

x(1-x)当x=

1

2

时，最大值为

1

24

点评：本题主要考查线面平行，线面垂直的判定定理，棱锥的体积．考查了学生对立体几何知识综合运用．