Question

已知m，n是正整数，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展开式中x的系数为7，求f（x）展开式中x²的系数的最小值，并求这时f（0.003）的近似值（精确到0.01）．

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：由题意可得m+n=7≥2

mn

，求得mn最大为12，f（x）展开式中x²的系数为

C

2 m

+

C

2 n

=

(m+n)2-2mn-7

2

，由此求得f（x）展开式中x²的系数的最小值．再利用二项式定理求得f（0.03）的近似值．

解答： 解：由题意可得m+n=7≥2

mn

，∴mn≤

49

4

，故mn最大为12，此时，m、n一个为3，另一个为4．
∵f（x）展开式中x²的系数为

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

m2+n2-(m+n)

2

=

m2+n2-7

2

=

(m+n)2-2mn-7

2

≥

49-24-7

2

=9，
即f（x）展开式中x²的系数的最小值为9．
f（0.03）=（1+0.03）⁴+（1+0.03）³≈（1+

C

1 4

×0.03）+（1+

C

1 3

×0.03）=2.21，
即f（0.003）的近似值为 2.21．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，近似计算，属于基础题．