Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，E是AB的中点，∠B=∠C=90°，AB=

2

，CD=

2

2

，BC=1．梯形ABCD（及其内部）绕AB所在的直线旋转一周，形成一个几何体．
（Ⅰ）求该几何体的体积V；
（Ⅱ）设直角梯形ABCD绕底边AB所在的直线旋转角θ（∠CBC′=θ∈（0，π））至ABC′D′．
①当θ=60°时，求二面角C′-DE-C的正切值大小；
②是否存在θ，使得AD′⊥C′D．若存在，求角θ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）在直角梯形ABCD作DE⊥AB，则作DE是圆锥的底面半径，AE是它的高，而BC和CD是圆柱的半径和母线，根据题意分别求出并代入椎体和柱体的体积公式，进行求和求出旋转体得体积；
（Ⅱ）①取BC，DE的中点分别为F，G，由已知条件推导出∠C′GF是所求二面角的平面角，由此能求出其正切值．
②先假设存在θ满足题意，再根据AD′⊥DC′和余弦定理进行求解，求出对应一个角的余弦值大于0，与线线垂直矛盾，故证出假设不成立即不存在．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知该几何体是一个底面半径为1高为

2

2

的圆柱体
和底面半径为1高为

2

2

的圆锥体的组合体，
∴该几何体的体积V=π×12×

2

2

+

1

3

×π×12×

2

2

=

2

3

2

π．
（Ⅱ）①取BC，DE的中点分别为F，G，
旋转后有AB⊥BC，AB⊥BC′，
∴AB⊥面BCC′，∴C′F⊥AB，
∵θ=60°，BC=BC′，∴C′F=BC，
∴C′F⊥面BCDE，∴DE⊥C′F，∴DE⊥FG，
∴DE⊥面C′FG，∴DE⊥C′G，
∴∠C′GF是所求二面角的平面角，
∴tan∠C1GF=

6

2

，
∴二面角C′-DE-C的正切值大小为

6

2

．
②连C¹E，则C¹E∥AD¹，
在△C¹DE中，C1E=

3 2

，DE=1，C1D=

5 2 -2cosθ

，
若AD¹⊥C¹D，则∠DC¹E=90°，
从而C¹E²+C¹D²=DE²，
解得cosθ=

3

2

，矛盾，
故不存在θ，使得AD′⊥C′D．

点评：本题是有关旋转体的综合题，需要根据题意求出几何体的几何元素的长度，再求出它的体积；对存在性问题的处理办法，一般是先假设存在再根据题意列出关系，证明结果是否有矛盾即可，考查了分析和解决问题的能力．