Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．
（1）若（2a+c）cosB+bcosC=0，求角B的值；
（2）若b为a，c的等比中项，求cosB的最小值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）根据b为a，c的等比中项，得到b²=ac，利用余弦定理表示出cosB，将b²=ac代入并利用基本不等式即可求出cosB的最小值．

解答： 解：（1）已知等式（2a+c）cosB+bcosC=0，利用正弦定理化简得：（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
整理得：2sinAcosB+cosBsinC+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∴2sinAcosB+sinA=0，
∵sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，
则B=

2π

3

；
（2）∵b为a，c的等比中项，∴b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，当且仅当a=c时取到等号．
则cosB的最小值为

1

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．