Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E为AB的中点，以直线CE为折线将点B折起至点P，并保持∠PEB为锐角，连接PA，PC，PD，取PD的中点F．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）当∠PEB=60°时，
①求证：平面PCE⊥平面AECD；
②求PD与平面AECD所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取DC中点G，连结GF，AG，由G，F为中点，判断出FG∥PC，根据线面平行的判定定理知FG∥平面PCE，由AE=CG，AE∥CG，推知四边形AECG为平行四边形，进而可知AG∥CE，利用线面平行的判定定理推断出AG∥平面PCE，则根据面面平行的判定定理可知平面AFG∥平面PCE，利用面面平行的性质可推断出AF∥平面PCE．
（Ⅱ）①由∠PEB=60°，PE=BE=1，推断出PB=1，取CE的中点O，PE=PC=1，且∠EPC=90°，求得OP，同理可求得OB，进而知OP²+OB²=BP²，判断出OP⊥OB，又有OP⊥CE，CE?平面BEC，OB?平面BEC，BO∩OP=P，推断出OP⊥平面BEC，即OP⊥平面CDEF，最后根据线面垂直的判定定理推断出平面PCE⊥平面AECD．
 ②连结OD，OP⊥平面CDEF，进而可知∠PDO为PD与平面AECD所成角，由BE=CE，∠B=90°，求得∠ECB=45°，进而可知∠ECD=45°，利用余弦定理求得OD，则tan∠PDO可求得．

解答：
（Ⅰ）证明：取DC中点G，连结GF，AG，
∵G，F为中点，
∴FG∥PC，
∵PC?平面PCE，FG?平面PCE，
∴FG∥平面PCE，
∵AE=CG，AE∥CG，
∴四边形AECG为平行四边形，
∴AG∥CE，
∵CE?平面PCE，AG?平面PCE，
∴AG∥平面PCE，
∵AG?平面AFG，FG?平面AFG，FG∩AG=G，
∴平面AFG∥平面PCE，
∵AF?平面AFG，
∴AF∥平面PCE．
（Ⅱ）①证明：∵∠PEB=60°，PE=BE=1，
PB=1，取CE的中点O，
∵PE=PC=1，且∠EPC=90°，
∴OP=

2

2

，同理可求得OB=

2

2

，
∴OP²+OB²=BP²，
∴OP⊥OB，
∵OP⊥CE，CE?平面BEC，OB?平面BEC，BO∩OP=P，
∴OP⊥平面BEC，即OP⊥平面CDEF，
∵OP?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面AECD．
 ②连结OD，∵OP⊥平面CDAF，
∴∠PDO为PD与平面AECD所成角，
∵BE=CE，∠B=90°，
∴∠ECB=45°，
∴∠ECD=45°，
∴OD=

CD2+OC2-2CD•OC•cos45°

=

10

2

∴tan∠PDO=

OP

OD

=

2

2

×

2

10

=

5

5

．

点评：本题主要考查了线面垂直，线面平行以及面面垂直的判定定理，线与面所成的角问题．在解决二面角或线面角的时候，关键是找到平面角．