Question

设函数f（x）=（x-2）²e^x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在[a，b]（a＜b），使得f（x）在该区间上的值域为[e⁴a，e⁴b]？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f'（x）=x（x-2）e^x，当f′（x）＞0时，解得：x＞2，x＜0，当f（x）＜0时，解得：0＜x＜2，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．
（Ⅱ）分别讨论a=0，a＞0的情况，列出方程组，找到单调区间，从而确定出a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f'（x）=x（x-2）e^x，
当f′（x）＞0时，解得：x＞2，x＜0，
当f（x）＜0时，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递增，（0，2）上单调递减．
∴y_极大=f（0）=4，y_极小=f（2）=0；
（Ⅱ）∵f（x）≥0，∴a≥0；
若a=0则b≥2，故有（b-2）²e^b=e⁴b
构造g(b)=

(b-2)2

b

eb(b＞2)，
∴g′(b)=[

b2-4

b2

+

(b-2)2

b

]eb＞0
b=4为唯一解．
若a＞0，则2∉[a，b]即b＞a＞2或0＜a＜b＜2
①b＞a＞2时，

f(a)=(a-2)2ea=e4a f(b)=(b-2)2eb=e4b

前面已证至多一解，
不存在满足条件的a，b；
②0＜a＜b＜2时，

(a-2)2ea=e4b (b-2)2eb=e4a

，相除得a（a-2）²e^a=b（b-2）²e^b
记 h（x）=x（x-2）²e^x（0＜x＜2），
则 h'（x）=（x³-x²-4x+4）e^x=（x²-4）（x-1）e^x，
∴h（x）在（0，1）递增，（1，2）递减，
由h（a）=h（b），
∴0＜a＜1，1＜b＜2
此时（a-2）²e^a＜4e＜e⁴b矛盾．
综上所述，满足条件的a，b为a=0，b=4．

点评：本题考察了函数的单调性，求函数的最值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．