Question

如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线．
（1）求证：OB⊥AC；
（2）若AC与圆柱下底面所成的角为30°，OA=2．求三棱锥A-BOC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结OB，根据切线性质有OB⊥BC，根据圆柱的几何特征，可得AB⊥OB，进而由线面垂直的判定定理可得OB⊥平面ABC，进而OB⊥AC；
（2）在Rt△OAB中，OA=2，OB=1，可得AB=

3

，结合AC与圆柱下底面所成的角即∠ACB=30°，可求出BC，AC，代入棱锥体积公式，可得三棱锥A-BOC的体积．

解答： 解：（1）连结OB，
∵BC是下底面的一条切线，
圆的切线性质有OB⊥BC，
又∵AB是圆柱的一条母线，
∴AB⊥底面⊙O，
又OB?底面⊙O，
∴AB⊥OB，
又∵AB∩BC=B，AB，BC?平面ABC，
∴OB⊥平面ABC，
又∵AC?平面ABC，
∴OB⊥AC．
（2）在Rt△OAB中，OA=2，OB=1，
∴AB=

3

．
又∵AB⊥底面⊙O，
∴∠ACB就是AC与底面⊙O所成角，
∵∠ACB=30°，
∴BC=3，AC=2

3

，
∴VA-BOC=

1

3

AB×S△BOC=

1

6

AB×OB×BC=

3

2

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定与性质，圆柱的几何特征，棱锥的体积公式，是空间线面关系的综合应用，难度中档．