Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，AC=1，BC=

2

，点E在PC上，AE⊥PC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面ABE；
（Ⅱ）若∠PDC的大小为60度，求二面角B-AE-D的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）连结AC，由已知条件推导出AB⊥平面PAC，从而得到AB⊥PC，再由AE⊥PC，能证明PC⊥平面ABE．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AE-D的大小．

解答： （Ⅰ）证明：连结AC，∵PA⊥平面ABCD，
AB?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB=1，AC=1，BC=

2

，
∴AB⊥AC，
∵PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴AB⊥PC，
∵点E在PC上，AE⊥PC，
∵AB∩AE=A，∴PC⊥平面ABE．
（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB=1，AC=1，BC=

2

，∠PDC=60°，
∴PD=2，PC=

3

，PA=

2

，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，

2

），
C（0，1，0），D（-1，1，0），
∴

AB

=（1，0，0），

AD

=(-1，1，0)，

PC

=(0，1，-

2

)，
设

PE

=λ

PC

=(0，λ，-

2

λ)，则E（0，λ，

2

-

2

λ），
∴

AE

=(0，λ，

2

-

2

λ)，
∵AE⊥PC，∴

AE

•

PC

=λ-2+2λ=0，解得λ=

2

3

．∴

AE

=(0，

2

3

，

2

3

)，
设平面ABE的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AB =x=0 n • AE = 2 3 y+ 2 3 z=0

，取z=

2

，得

n

=(0，-1，

2

)．
设平面AED的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
则

m • AD =-x1+y1=0 m • AE = 2 3 y1+ 2 3 z1=0

，取x₁=1，得

m

=(1，1，-

2

)，
设二面角B-AE-D的平面角为θ，
则cosθ=-|cos＜

n

，

m

＞|=-|

0-1-2

3 • 4

|=-

3

2

．
∴θ=150°．
∴二面角B-AE-D的大小为150°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．