Question

如图，在三棱锥A-BOC中，∠OAB=30°，AO⊥平面BOC，AB=4，∠BOC=90°，BO=CO，D是AB的中点．
（1）求证：CO⊥平面AOB；
（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出CO⊥AO，CO⊥BO，由此能证明CO⊥平面AOB．
（2）作DE⊥OB，垂足为E，连结CE，则DE∥AO，所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角，由此能求出异面直线AO与CD所成角的正切值．

解答： 解：（1）∵AO⊥平面BOC，
又CO?平面COB，∴CO⊥AO，…（3分）
∵∠BOC=90°，∴CO⊥BO，…（4分）
又∵AO∩B0=O，∴CO⊥平面AOB．…（6分）
（2）作DE⊥OB，垂足为E，连结CE（如图），
则DE∥AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．…（8分）
在Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1，
∴CE=

CO2+OE2

=

5

．…（10分）
又DE=

1

2

AO=

3

．
∴在Rt△CDE中，tan∠CDE=

CE

DE

=

5

3

=

15

3

．…（13分）
∴异面直线AO与CD所成角的正切值为

15

3

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．