Question

已知如图，函数y=2sin（

π

2

x+φ）（0≤φ≤

π

2

，x∈R）的图象与y轴的交点为（0，1）．
（1）求φ的值；
（2）设点P是图象上的最高点，M，N是图象与x轴的交点，求向量

PM

与向量

PN

夹角的余弦值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由y=2sin（

π

2

x+φ）的图象与y轴的交点为（0，1），可得sinφ=

1

2

，0≤φ≤

π

2

，从而可得φ的值；
（2）依题意，可求得M，N，P的坐标，于是可得向量

PM

与

PN

的坐标，利用向量数量积的坐标运算即可求得向量

PM

与向量

PN

夹角的余弦值

解答： 解：（1）由题意得2sinφ=1，sinφ=

1

2

，0≤φ≤

π

2

，
∴φ=

π

6

．…..…（6分）
（2）由

π

2

x+

π

6

=0得：x=-

1

3

，
∴M（-

1

3

，0），又T=

2π

π 2

=4，
∴点P的横坐标x_p=（-

1

3

）+

1

4

T=

2

3

，
∴P（

2

3

，2），同理可得N（

5

3

，0），…（9分）
∴

PM

=(-1，-2)，

PN

=(1，-2)，…（12分）
设向量

PM

与的

PN

夹角为θ，则cosθ=

PM • PN

| PM || PN |

=

3

5

…（14分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查向量数量积的坐标运算，求得M，N，P的坐标是关键，考查运算能力，属于中档题．