Question

已知点C（1，-2），P（-5，-2），动点满足|

QC

|=3．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）求

PC

与

PQ

夹角的取值范围；
（3）是否存在斜率为1的直线l，l被点Q的轨迹所截得的弦为AB，以AB为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设点Q（x，y），由|

QC

|=3，得

(x-1)2+(y+2)2

=3，由此能求出动点Q的轨迹方程．
（2）过P作圆C的切线，切点E，F，由EC=3，PC=6，由此能求出

PC

与

PQ

夹角的取值范围．
（3）设l：y=x+t，由

y=x+t (x-1)2+(y+2)2=9

，得2x²+（2+2t）x+t²+4t-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此利用韦达定理、向量垂直结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）设点Q（x，y），由|

QC

|=3，得

(x-1)2+(y+2)2

=3，
整理，得动点Q的轨迹方程为：
（x-1）²+（y+2）²=9．…（3分）
（2）过P作圆C的切线，切点E，F，
则EC=3，PC=6，
∴∠EPC=30°，
∴求

PC

与

PQ

夹角的取值范围为[0，30°]．…（8分）
（3）设这样的l存在，设l：y=x+t，
由

y=x+t (x-1)2+(y+2)2=9

，
得2x²+（2+2t）x+t²+4t-4=0，※…（9分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-（t+1），x₁x₂=

t2+4t-4

2

，（10分）
由题设，

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．（11分）
∵y₁y₂=（x₁+t）（x₂+t）=x₁x₂+t（x₁+x₂）+t²，（12分）
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+t（x₁+x₂）+t²=0，
整理，得t²+3t-4=0，（13分）
解得t=-4或t=1，
∴存在直线l：y=x-4或y=x+1．（14分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的夹角的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意向量垂直的条件的合理运用，