Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M、N两点，已知直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线l，使得以M、N为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直线l与x轴垂直时，|MN|=2p，利用△OMN的面积为2，求出p，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求出线段MN的垂直平分线，可得P的坐标，利用

PM

•

PN

=0，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）直线l与x轴垂直时，|MN|=2p，
∵△OMN的面积为2，
∴

1

2

•2p•

p

2

=

p2

2

=2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，不满足，设正方形的第三个顶点P（0，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
设l：y=k（x-1）（k≠0），代入y²=4x，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
∴MN的中点为（

k2+2

k2

，

2

k

），
∴线段MN的垂直平分线为y-

2

k

=-

1

k

（x-1-

2

k2

），
∴P（0，

3

k

+

2

k3

），
∵

PM

•

PN

=0，
∴x₁x₂+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=0，
∴1-4-y₀•

4

k

+y₀²=0，
由y₀=

3

k

+

2

k3

代入，可得（3k⁴-4）（k²+1）=0，
∴k=±

4 3

，
∴存在直线l：y=±

4 3

（x-1）．

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，难度中等．