Question

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=

1

2

．
（1）求f（

1

2

）和f（

1

n

）+f（

n-1

n

）（n∈N^*）的值；
（2）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明；
（3）在第（2）问的条件下，若数列{b_n}满足b₁=-6，16a_n²-4（b_n+1-b_n-3）a_n+b_n+1+2b_n+2=0，试求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：本题（1）用特殊值代入即可得到结论；
（2）利用倒序相加法，结合（1）的结论，即可得到本题结果；
（3）将题中条件变形，构造出新数列，求出新数列的通项，得到所求结果．

解答： 解：（1）∵f(

1

2

)+f(1-

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=

1

2

．
∴f(

1

2

)=

1

4

．
令x=

1

n

，
得f(

1

n

)+f(1-

1

n

)=

1

2

，
即f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=

1

2

．
（2）an=f(0)+f(

1

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)
又an=f(1)+f(

n-1

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)
两式相加得2an=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(1)+f(0)]=

n+1

2

．
所以an=

n+1

4

，  n∈N*，
又an+1-an=

n+1+1

4

-

n+1

4

=

1

4

．
故数列{a_n}是等差数列．
（3）由（2）知，an=

n+1

4

，
代入16

a

2 n

-4 (bn+1-bn-3)an+bn+1+2bn+2=0
整理得nb_n+1=（n+3）b_n+（n+2）（n+3）
两边同除以n（n+1）（n+2）（n+3），
得

bn+1

(n+1)(n+2)(n+3)

=

bn

n(n+1)(n+2)

+

1

n(n+1)

，
即有

bn+1

(n+1)(n+2)(n+3)

+

1

n+1

=

bn

n(n+1)(n+2)

+

1

n

，
∴

bn

n(n+1)(n+2)

+

1

n

=

b1

6

+1=0
∴b_n=-（n+1）（n+2）．

点评：本题考查了函数中的代数思想，还考查了数列中的倒序求和法、构造数列法求通项．本题对学生的思维能力要求高，计算量较大，属于难题．