Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

 （n∈N^*）．
（1）求证：数列{

1

an

+

1

2

}是等比数列，并求数列{a_n}的通项a_n
（2）若数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）

n

2n

a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）把题目给出的数列递推式取倒数，即可证明数列{

1

an

+

1

2

}是等比数列，由等比数列的通项公式求得

1

an

+

1

2

，则数列{a_n}的通项a_n的通项可求；
（2）把数列{a_n}的通项a_n代入b_n=（3ⁿ-1）

n

2n

a_n，由错位相减法求得数列{b_n}的前n项和为T_n，作差后得到T_n为递增数列．然后对n分类求得满足不等式（-1）ⁿλ＜T_n的实数λ的范围，则答案可求．

解答： （1）证明：由a_n+1=

an

an+3

 （n∈N^*），
得

1

an+1

=

an+3

an

=

3

an

+1，
∴

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)．
∴数列{

1

an

+

1

2

}是以3为公比以(

1

a1

+

1

2

)=

3

2

为首项的等比数列．
（2）解：由（1）知，bn=(3n-1)•

n

2n

2

3n-1

=n•(

1

2

)n-1，
Tn=1×1+2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n，
两式相减得，

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
∴Tn=4-

n+2

2n-1

．
∵Tn+1-Tn=(4-

n+3

2n

)-(4-

n+2

2n-1

)=

n+1

2n

＞0，
∴T_n为递增数列．
①当n为正奇数时，-λ＜T_n对一切正奇数成立，
∵(Tn)min=T1=1=T₁=1，∴-λ＜1，∴λ＞-1；
②当n为正偶数时，λ＜T_n对一切正偶数成立，
∵(Tn)min=T2=2=T₂=2，∴λ＜2．
综合①②知，-1＜λ＜2．

点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，考查了利用分类讨论的数学思想方法求解数列不等式，是中档题．