Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D是CC₁的中点．
（1）求二面角D-AB-C的平面角的正切值；
（2）求A₁B与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：计算题,空间角

分析：（Ⅰ）取AB中点E，连接DE，CE，证明∠DEC即为二面角D-AB-C的平面角，即可求二面角D-AB-C的平面角的正切值；
（2）连接BC₁，证明∠A₁BC₁即为A₁B与平面BB₁C₁C所成角，即可求A₁B与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）取AB中点E，连接DE，CE
因为直棱柱，CC₁⊥面ABC，所以CC₁⊥AB，
又因为△ABC为等腰直角三角形，
所以CE⊥AB，所以AB⊥面DEC，即AB⊥DE，
所以∠DEC即为二面角D-AB-C的平面角
因为CD=1，CE=

2

，则tan∠DEC=

DC

CE

=

1

2

=

2

2

（II）连接BC₁．
因为直棱柱，所以CC₁⊥AC，且AC∥A₁C₁，所以CC₁⊥A₁C₁．
而由于AC⊥BC，所以A₁C₁⊥B₁C₁，
所以A₁C₁⊥面BB₁C₁C，
所以∠A₁BC₁即为A₁B与平面BB₁C₁C所成角．
因为A₁C₁=2，BC₁=2

2

，所以sin∠A₁BC₁=

3

3

．

点评：本题考查空间角的计算，考查学生的计算能力，正确作出空间角是关键．