Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（1）求异面直线BD和AA₁所成的角；
（2）求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（3）在直线CC₁上否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的定义即可求异面直线BD和AA₁所成的角；
（2）求平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（3）根据线面平行的判定定理和性质定理，建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：连接BD交AC于O，
则BD⊥AC，连接A₁O，
在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°，
∴A₁O²=AA₁²+AO²-2AA₁•AO•cos60°=3．
∴AO²+A₁O²=AA₁²．
∴A₁O⊥AO，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
∴A₁O⊥平面ABCD．
∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（

3

，0，0），C（0，1，0），D（-

3

，0，0），A₁（0，0，

3

）．
（1）∵

BD

=（-2

3

，0，0），

AA1

=（0，1，

3

），
∴

AA1

•

BD

=0×（-2

3

）+1×0+

3

×0=0，
∴BD⊥AA₁，即异面直线BD和AA₁所成的角为90°．
（2）∵OB⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C的法向量

n1

=（1，0，0）．
设

n2

=（x，y，z）是平面AA₁D的一个法向量，
则

n2 • AA1 =y+ 3 z=0 n2 • AD =- 3 x+y=0

，取

n2

=（1，

3

，-1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

5

5

．
（3）假设直线CC₁上存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，
设

CP

=λ

CC1

，P（x，y，z），
则（x，y-1，z）=λ（0，1，

3

），
则x=0，y=1+λ，z=

3

λ，即P（0，1+λ，

3

λ），

BP

=(-

3

，1+λ，

3

λ)，
设

n3

=（x，y，z）是平面DA₁C₁的一个法向量，则

n3 • A1C1 =2y=0 n3 • DA1 = 3 x+ 3 z=0

，
不妨取

n3

=（1，0，-1），
∵

BP

∥平面DA₁C₁，
∴

n3

•

BP

=0，
即-

3

-

3

λ=0，解得λ=-1，
即点P在CC₁上的延长线上，且CC₁=CP．

点评：本题主要考查异面直线所成角的求解，二面角的大小计算，建立坐标系，利用向量法是解决此类问题的 基本方法．