Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2，数列{b_n}满足{b_n}=log₂a_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记{

1

bn•bn+1

}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）若不等式λ²-

3

2

λ＞T_n对任意n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n=2a_n-1，从而得到a_n=2•2^n-1=2ⁿ.bn=log2an=log22n=n．
（2）由

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法能求出{

1

bn•bn+1

}的前n项和为T_n．
（3）Tn=1-

1

n+1

＞1，由此得到λ²-

3

2

λ＞1，从而能求出λ的取值范围．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）
∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
bn=log2an=log22n=n．
（2）

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）∵Tn=1-

1

n+1

，∴T_n单调递增，
当n=1时，T_n有最小值（T_n）_min=1-

1

1+1

=

1

2

，
∵Tn=1-

1

n+1

＞1，
∴不等式λ²-

3

2

λ＞T_n对任意n∈N^*恒成立，
等价于不等式λ²-

3

2

λ＞1，
解得-

1

2

＜λ＜2，
∴λ的取值范围是（-

1

2

，2）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．