Question

已知函数f（x）=ax²+x+3lnx（a为常数），其图象是曲线C．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若存在实数x₀，使得f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的“等值点”．已知函数f（x）存在两个“等值点”，求实数a的取值范围；
（3）当a=

9

2

时，已知点A（x₀，y₀）为曲线C上的动点，曲线C在点A处的切线l₁交y轴于点E，设函数f（x）的导函数为f′（x），其图象是曲线C′，曲线C′在点A′（x₀，y₀′）处的切线l₂交y轴于点F，试求线段EF的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-1时，f（x）=-x²+x+3lnx，通过求导得出函数的单调区间，
（2）由f（x₀）=x₀，得ax02+x₀+3lnx₀=x₀得a=-

3lnx0

x02

，令g（x）=a，当x=e时，函数g（x）取得极小值，即为函数g（x）的最小值，从而求出函数的范围．
（3）把a=

9

2

，函数的表达式，求出曲线C的方程，表示出|EF|的长，从而求出最小值．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=-x²+x+3lnx，
则f′x）=-2x+1+

3

x

，
令f′（x）=-2x+1+

3

x

=

-2x2+x+3

x

＞0
∵x＞0，
∴0＜x＜

3

2

∴函数f（x）的单调增区间为（0，

3

2

）
（2）由f（x₀）=x₀，
得ax02+x₀+3lnx₀=x₀
∴ax02+3lnx₀=0，
得a=-

3lnx0

x02

，
令g（x）=-

3lnx

x2

，
则g′（x）=-

3x(1-lnx)

x4

，
由g′（x）＞0，得0＜a＜e
由g′（x）＜0，得x＞e
∴，当x=e时，函数g（x）取得极小值，
即为函数g（x）的最小值，g（e）=-

3

e2

         
∵当x＞0且趋向于无穷大时，g（x）＜0
∴-

3

e2

＜a＜0
（3）当a=

9

2

时，f（x）=

9

2

x²+x+3lnx，
则f′（x）=9x+1+

3

x

曲线c在点A（x₀，y₀）处的切线l₁为：y-y₀=（9x₀+1+

3

x0

）（x-x₀）
当x=0时，y=-9x02-x₀-3+y₀=-

9

2

x02+3lnx₀-3，
即E（0，-

9

2

x02+3lnx₀-3），
令g（x）=9x+1+

3

x

，
则g′（x）=9-

3

x2

曲线c在点A（x₀，y0′）处的切线l₂为：
y-y0′=（9-

3

x02

）（x-x₀），
当x=0时，y=-9x₀+

3

x0

+y0′=

6

x0

+1，
即F（0，

6

x0

+1），
∴EF=|

9

2

x02+

6

x0

-3lnx₀+4|，x₀＞0
令h（x）=

9

2

x²+

6

x

-3lnx+4，（x＞0），
则h′（x）=9x-

6

x2

-

3

x

=

3(x-1)(3x2+3x+2)

x2

，
当x∈（0，1）时，h（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，h（x）为增函数；
∴当x=1时，h（x）取得极小值即为最小值h（1）=

29

2

所以，线段EF的最小值为

29

2

．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，求参数的范围，求切线方程，是一道综合题．