Question

已知如图，△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=

6

4

，A点关于平面PBC的对称点为A′，连线AA′交面PBC于O点．
（Ⅰ）求证：PO⊥BC；
（Ⅱ）求线段AA′的长度；
（Ⅲ）求二面角A′-AB-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明PO⊥BC，只需证明BC⊥平面PAE，只需证明BC⊥AO，BC⊥PA；
（Ⅱ）先求AE，再在Rt△PAE中，利用等面积法可求线段AA′的长度；
（Ⅲ）取AB中点为G，连A′G，CG，则∠A′GC即为二面角A'-AB-C的平面角，利用余弦定理求二面角A′-AB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由于点A，A'关于平面PBC对称，则连线AA'⊥面PBC，
所以有BC⊥AO  ①
延长PO交BC于E，连结AE，由PA⊥平面ABC知：BC⊥PA  ②
由①②知：BC⊥平面PAE且PO?平面PAE，
所以BC⊥PO得证；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：BC⊥AE，因为AB=AC=BC=1，
所以E是BC的中点，故可求AE=

3

2

，
在Rt△PAE中，利用等面积法可求：AO=

PA•AE

PE

=

6 4 × 3 2

( 6 4 )2+( 3 2 )2

=

1

2

则AA'=2AO=1；
（Ⅲ）解：根据对称：A′B=A′C=1，从而知A′ABC为正四面体．
取AB中点为G，连A′G，CG，则∠A′GC即为二面角A'-AB-C的平面角
在△A′GC中，A′G=CG=

3

2

，A′C=1，
由余弦定理知：cos∠A′GC=

A′G2+CG2-A′C2

2A′G•CG

=

1

3

故二面角A'-AB-C的余弦值为

1

3

．

点评：本题考查知识点较多，综合性强，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查面面角，考查学生的计算能力．