Question

已知函数f（x）=ln|x|，（x≠0），函数g（x）=

1

f′(x)

+af′（x），a∈R．
（1）求函数y=g（x）的表达式和单调区间；
（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可，求函数y=g（x）的表达式和单调区间；
（2）根据基本不等式求出函数的最小值，建立方程关系即可得到结论．

解答： （Ⅰ）∵f（x）=ln|x|，
∴当x＞0时，f（x）=lnx； 当x＜0时，f（x）=ln（-x），
∴当x＞0时，f′（x）=

1

x

； 当x＜0时，f′（x）=

1

-x

•(-1)=

1

x

．
∴当x≠0时，函数g（x）=

1

f′(x)

+af′（x）=x+

a

x

；
则g′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，
若a≤0，则g′（x）≥0；此时函数单调递增，即函数的增区间为（0，+∞），（-∞，0）．
若a＞0，由g′（x）≥0，解得x≥

a

或x≤-

a

，即函数的增区间为（

a

，+∞），（-∞，-

a

）．
由g′（x）≤0，解得-

a

≤x＜0或0＜x≤

a

，即函数的减区间为[-

a

，0），（0，

a

]．
（Ⅱ）∵由（1）知当x＞0时，g（x）=x+

a

x

，
∴当a＞0，x＞0时，g（x）=x+

a

x

≥2

a

，当且仅当x=

a

时取等号．
∴函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2

a

=2，
即

a

=1，得a=1．

点评：本题主要考查函数单调区间的求解，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．