Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10，设T_n是数列{

3

(lgan)(lgan+1)

}的前n项和，求使T_n＞

1

4

（m²-5m）对所有的n∈N成立的最大正整数m的值集合．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n与s_n的关系得，a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，两式作差即可证得数列{a_n}是以10为首项，10为公比的等比数列，进而求得a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，lga_n=n，
（2）利用裂项相消法求得T_n，T_n≥

3

2

，依题意有

3

2

＞

1

4

（m²-5m），解不等式即可得出结论．

解答： 解：依题意，
当n=1时，a₂=9S₁+10=9×10+10=100；
当n≥2时，由a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，
可得a_n+1-a_n=9a_n，即a_n+1=10a_n，此式对于n=1时也成立．
∴数列{a_n}是以10为首项，10为公比的等比数列，
∴a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，∴lga_n=n，
∴

1

(lgan)(lgan+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=3（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=3（1-

1

n+1

）=3-

3

n+1

，
∴T_n≥

3

2

，
依题意有

3

2

＞

1

4

（m²-5m），解得-1＜m＜6，
故所求最大正整数m的值为5．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生对数列基础知识的综合把握．