Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ+c（n∈N^*），其中c是常数．
（1）若数列{a_n}为等比数列，求常数c的值；
（2）若c=2，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=2ⁿ+c（n∈N^*），分别求出前3项，现利用等比数列的性质能求出c=-1．
（2）c=2时，S_n=2ⁿ+2，利用a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ+c（n∈N^*），
∴a₁=S₁=2+c，
a₂=S₂-S₁=（4+c）-（2+c）=2，
a₃=S₃-S₂=（8+c）-（4+c）=4，
∵数列{a_n}为等比数列，∴2²=4（2+c），
解得c=-1．
（2）c=2时，S_n=2ⁿ+2，
a₁=S₁=2+2=4，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．
∴a_n=

4，n=1 2n-1，n≥2

．

点评：本题考查常数的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意公式a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的合理运用．