Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率e=

2

2

，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足

OP

=

OA

+λ

OB

，（其中实数λ为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当λ=1，且直线AB过F点且垂直于x轴时，求过A，B，P三点的外接圆方程；
（3）若直线OA与OB的斜率乘积k_OA•k_OB=-

1

2

，问是否存在常数λ，使得动点P满足PG+PQ=4，其中G（-

2

，0），Q（

2

，0），若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将已知条件代入离心率e=

c

a

，a²=b²+c²得a，b的值，方程可求；
（2）由直线AB过F点且垂直于x轴，可得AB的方程，将x=1代入椭圆方程易得A，B的坐标，继而求出P点坐标，然后利用待定系数法求出圆的一般式方程；
（3）总体思路是：先假设λ存在，然后想办法构造一个关于λ的方程．即先将条件“直线OA与OB的斜率乘积k_OA•k_OB=-

1

2

，动点P满足

OP

=

OA

+λ

OB

，”结合一下，可以找到一个关于x₁，x₂，y₁，y₂，λ的关系式，化简后，再结合“P满足PG+PQ=4，其中G（-

2

，0），Q（

2

，0）”可看出，P的轨迹应该是一个椭圆，再利用椭圆的定义最终得到关于λ的方程，解之即可．

解答： 解：（ I）有题设可知：

c=1 c a = 2 2

∴a=

2

又b²=a²-c²，∴b²=1，
∴椭圆标准方程为

x2

2

+y2=1
（2）由题意可知直线AB方程为x=1，代入

x2

2

+y2=1解得A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，P(2，0)，
设圆的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A，B，P三点代入得

1+( 2 2 )2+D+ 2 2 E+F=0 1+(- 2 2 )2+D- 2 2 E+F=0 4+2D+F=0

，
解得D=-

5

2

，E=0，F=1，
所以圆的方程是x2+y2-

5

2

x+1=0
（3）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由

OP

=

OA

+λ

OB

得
（x，y）=（x₁，y₁）+λ（x₂，y₂）=（x₁+λx₂，y₁+λy₂），
即x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂．
∵点A、B在椭圆x²+2y²=2上，
∴x

2 1

+2y

2 1

=2，x

2 2

+2y

2 2

+=2，故x²+2y²=（x

2 1

+λ²x

2 2

+2λx₁x₂）+2（y

2 1

+λ²y

2 2

+2λy₁y₂）=（x

2 1

+2y

2 1

）+λ²（x

2 2

+2yx）+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）
=2+2λ²+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）．
设k_OA，k_OB分别为直线OA，OB的斜率，
由题设条件知k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，∴x²+2y²=2+2λ²．即

x2

2+2λ2

+

y2

1+λ2

=1
∴P点是椭圆

x2

2+2λ2

+

y2

1+λ2

=1上的点，
设该椭圆的左、右焦点为G，Q，则由椭圆的定义PG+PQ=4为定值．
所以4=2

2+2λ2

，∴λ=±1，
此时两焦点的坐标为 G（-

2

，0），Q(

2

，0)
∴存在λ=±1使得PG+PQ=4

点评：椭圆的方程一般采用定义结合离心率公式、和a，b，c的关系式来求；圆的方程主要是待定系数法，知道点的坐标或者与半径，圆心有关的条件，将之代入圆的方程得到关于系数的方程组；第三问有一定难度，但一般思路仍然是将已知条件坐标化，然后消元、化简，要充分理解所给条件的意义，比如本题中的条件“动点P满足PG+PQ=4，其中G（-

2

，0），Q（

2

，0）”就是椭圆的定义，这是最终解决本题的关键．