Question

宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为r（r＞0）的球．人们在行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统．已知行星表面上的A点落在北纬60°，东经30°；B点落在东经30°的赤道上；C点落在北纬60°，东经90°．在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离．
（1）求AC两点间的球面距离；
（2）求P点的经度；
（3）求AP两点间的球面距离．

Answer 1

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设球心为O，北纬60°圈所对应的圆心为O’，根据已知求出AC=O’A=O’C=

1

2

r，进而得到sin

1

2

∠AOC=

1

4

，即∠AOC=2arcsin

1

4

，可得两点间的球面距离；
（2）PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离，即PB=AB．可知∠POB=∠AOB=60°，又由P点在赤道上，B点落在东经30°的赤道上，可得求P点的经度；
（3）显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等．不妨P所在的经度为东经90°，证得AC∥BP，可得A、B、C、P共面．又由AB=CP，可得四边形ABCP为等腰梯形，求出AP后，可得sin

1

2

∠AOP=

6

4

，进而得到AP两点间的球面距离．

解答： 解：设球心为O，北纬60°圈所对应的圆心为O’，
（1）那么OO′=rsin60°=

3

2

r．
O′A=O′C=rcos60°=

1

2

r．
又∵∠AO′C=60°．
∴AC=O′A=O′C=

1

2

r．
则sin

1

2

∠AOC=

1

4

，
那么∠AOC=2arcsin

1

4

，
∴两点间的球面距离为2r•arcsin

1

4

，
（2）PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离，
∴PB=AB．
可知∠POB=∠AOB=60°，
又P点在赤道上，B点落在东经30°的赤道上；
∴P点的经度为东经90°或西经30°．
（3）显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等．
不妨P所在的经度为东经90°．
由条件可知O’A平行OB且等于OB的一半，
延长BA与OO′交于D点，
那么

DA

DB

=

DO′

DO

=

1

2

．
而O′C平行OP且等于OP的一半，
∴D、P、C共线且

DC

DP

=

DO′

DO

=

1

2

．
可知AC∥BP，
所以A、B、C、P共面．
又由AB=CP，
∴四边形ABCP为等腰梯形，
∴AP=

6

2

r，
sin

1

2

∠AOP=

6

4

，
∴∠AOP=2arcsin

6

4

，
∴AP两点间的球面距离为2r•arcsin

6

4

．

点评：本题考查的知识点是球面距离，求球面距离关键是求球心角的度数，而求球心角关键在求弦长．