Question

已知函数f（x）=sinωx+

3

cosωx（ω＞0）的周期为π．
（1）求函数f（x）的振幅，初相；
（2）用五点法作出在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（3）说明函数f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到的？

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,两角和与差的正弦函数,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和的正弦公式求得f（x）=2sin（ωx+

π

3

）（ω＞0），再根据它的周期为

2π

ω

=π，求得ω的值，可得f（x）=2sin（ωx+

π

3

），从而求得振幅和初相．
（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sinωx+

3

cosωx=2sin（ωx+

π

3

）（ω＞0）的周期为T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，f（x）=2sin（2x+

π

3

），∴振幅为2，初相为

π

3

．
（2）列表：

2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
f（x）	0	2	0	-2	0

作图：
（3）由y=sinx的图象向左平移

π

3

个单位，再把所得图象上的各点的横坐标变为原来的

1

2

，再把所得图象上的各点的纵坐标变为原来的2倍，即可得到函数f（x）的图象．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．