Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，不等式f（x）＞0的解集为{x|-3＜x＜2}．
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）当关于的x的不等式ax²+bx+c≤0的解集为R时，求c的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，求出a、b的值，即得f（x）；
（2）由二次函数的图象与性质，求出不等式-3x²+5x+c≤0解集为R时a的取值．

解答： 解：（1）∵f（x）＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，
∴-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两根；
∴

-3+2=- b-8 a -3×2= -a-ab a

，
解得

a=-3 b=5

，
∴f（x）=-3x²-3x+18；
（2）∵a=-3＜0，
∴二次函数y=-3x²+5x+c的图象开口向下，
要使-3x²+5x+c≤0的解集为R，
只需△≤0，
即25+12c≤0，
∴c≤-

25

12

；
∴当c≤-

25

12

时，-3x²+5x+c≤的解集为R．

点评：本题考查了一元二次不等式与对应的二次函数的关系应用问题，解题时应结合二次函数的图象与性质，进行解答，是基础题．