Question

已知f（x）的定义域为R，对任意x、y满足下列条件f（x+y）=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2且f（1）=3，当x＞0时，f（x）＞2，记g（x）=f（x）-1．
（1）求证：g（x+y）=g（x）g（y）；
（2）若对x∈R都有g（x）≠0，求证g（x）＞0，并证明g（x）是增函数；
（3）记a_n=f（n），求a_n+1．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）求出g（x），g（y），g（x+y）的表达式，通过因式分解即可得证；
（2）x＞0，由题设得g（x）＞0，令x=y=0，求出f（0），注意g（x）≠0，即f（x）≠1，得到f（0）=2，再令x＜0，则-x＞0，由f（0）=2，求出f（-x），解f（-x）＞2，求出f（x）即可得到结论；运用定义令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞2，运用条件f（x+y）=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2和f（-x）=

f(x)

f(x)-1

，即可证得
f（x₂）＞f（x₁），即g（x₂）＞g（x₁），从而得证；
（3）求出f（n+1）=2f（n）-1，两边减1，得到{f（n）-1}是首项是2，公比是2的等比数列，运用等比数列通项公式即可求出f（n），从而得到a_n+1．

解答： （1）证明：∵g（x）=f（x）-1，∴g（y）=f（y）-1，
∴g（x+y）=f（x+y）-1=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2-1
=[f（x）-1][f（y）-1]=g（x）g（y）；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞2，记g（x）=f（x）-1，
则x＞0时，g（x）＞1，
若x=y=0，则f（0）=f（0）²-2f（0）+2，解得f（0）=2或1，
由于对x∈R都有g（x）≠0，即f（x）≠1，故f（0）=2，g（0）=1＞0，
令x＜0，则-x＞0，f（0）=f（x）f（-x）-f（x）-f（-x）+2，
即f（x）f（-x）=f（x）+f（-x），
∵f（-x）＞2，∴f（-x）=

f(x)

f(x)-1

＞2，解得1＜f（x）＜2，
∴x＜0时，g（x）＞0，
故对x∈R，g（x）＞0；
令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞2，
即f（x₂）f（-x₁）-f（x₂）-f（-x₁）＞0，
由于f（-x）=

f(x)

f(x)-1

，即有f（-x₁）=

f(x1)

f(x1)-1

，
∴

f(x1)f(x2)

f(x1)-1

＞f（x₂）+

f(x1)

f(x1)-1

，∵f（x）＞1，
∴f（x₂）＞f（x₁），即有g（x₂）＞g（x₁），故g（x）是R上的增函数．
（3）解：a_n=f（n），a_n+1=f（n+1），
∵f（n+1）=f（n）f（1）-f（n）-f（1）+2，f（1）=3，
∴f（n+1）=2f（n）-1，f（n+1）-1=2[f（n）-1]，
∴{f（n）-1}是首项是2，公比是2的等比数列，
∴f（n）-1=2•2^n-1=2ⁿ，f（n）=2ⁿ+1，f（n+1）=2ⁿ⁺¹+1，
∴a_n+1=2ⁿ⁺¹+1．

点评：本题主要考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查函数的单调性定义及运用，同时考查数列与函数的关系，考查等比数列的通项公式及运用，属于中档题．