Question

已知x=2是函数f（x）=aln（1+x）+0.5x²-4x的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若直线y=b与函数f（x）的图象有3个不同的交点，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出导函数，再把（2，0）代入求出a的值即可；（2）先求出函数f（x）的导数，分别令导数大于0，小于0，解不等式从而求出单调区间；
（3）由（2）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，在（1，2）内单调减少，在（2，+∞）上单调增加，当x=1或x=2时，f′（x）=0，再根据函数的单调性求出极值，进而确定b的取值范围．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

a

1+x

+x-4，
∴f′（2）=

a

1+2

+2-4=0，
∴a=6．
（2）由（1）知，f（x）=6ln（1+x）+0.5x²-4x，x∈（-1，+∞），
∴f′（x）=

6

1+x

+x-4=

(x-1)(x-2)

1+x

，
当x∈（-1，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，
∴f （x）的单调增区间是（-1，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）．
（3）由（2）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，在（1，2）内单调减少，在（2，+∞）上单调增加，
当x=1或x=2时，f′（x）=0，
∵f（16）＞16²-10×16＞16ln2-9=f（1），f（e^-2-1）＜-32+11=-21＜f（3），
∴f（x）的极大值为f（1）=6ln2-3.5，极小值为f（2）=6ln3-6．
又x→-1时，f（x）→-∞，
f（8）=6ln9+0.5×8²-4×8=12ln3＞6ln2-3.5．
∴在f（x）的三个单调区间（-1，1），（1，2），（2，+∞），
若直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（2）＜b＜f（1），
∴b的取值范围为（6ln3-6，6ln2-3.5）．

点评：本题考察了函数的单调性，求函数的极值问题，导数的应用，是一道综合题．