Question

已知x为实数，复数z=（x²+x-2）+（x²+3x+2）i．
（Ⅰ）当x为何值时，复数z为纯虚数？
（Ⅱ）当x=0时，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y=-mx+n上，其中mn＞0，求

1

m

+

1

n

的最小值及取得最值时的m、n值．

Answer 1

考点：复数的基本概念,基本不等式

专题：数系的扩充和复数

分析：（Ⅰ）复数z为纯虚数，复数的实部为0，虚部不为0，求出x即可；
（Ⅱ）当x=0时，求出m、n的关系，其中mn＞0，利用基本不等式求

1

m

+

1

n

的最小值及取得最值时的m、n值．

解答： 解：（Ⅰ）复数z为纯虚数，∴

x2+x-2=0 x2+3x+2≠0

，解得x=1．
（Ⅱ）当x=0时，复数z（-2，2），复数z在复平面内对应的点Z落在直线y=-mx+n上，∴2m+n=2，
∵mn＞0，∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（m+

n

2

）=

3

2

+

m

n

+

n

2m

≥

3

2

+

2

当且仅当n2=2m2等号成立，
又2m+n=2，
∴m=2-

2

，n=2

2

-2．

点评：本题考查复数的基本概念的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．