Question

设△ABC的三个内角A，B，C，向量

m

=（2cosA，sinA），

n

=（cosB，-2sinB），且

m

•

n

=1
（1）求角C的大小：
（2）若△ABC的三边长构成公差为4的等差数列，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数结合三角形的内角和，求出角C的大小：
（2）三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x-4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答： 解：（1）△ABC的三个内角A，B，C，向量

m

=（2cosA，sinA），

n

=（cosB，-2sinB），且

m

•

n

=1
∴2cosAcosB-2sinBsinA=1，
∴cos（A+B）=

1

2

．
即cosC=-

1

2

，
∴角C=

2π

3

：
（2）设三角形的三边分别为x-4，x，x+4，
则cos120°=

x2+(x-4)2-(x+4)2

2x(x-4)

=-

1

2

，
化简得：x-16=4-x，解得x=10，
所以三角形的三边分别为：6，10，14
则△ABC的面积S=

1

2

×6×10sin120°=15

3

．

点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，向量的数量积以及两角和与差的三角函数，是一道中档题．