Question

已知平面向量

a

=（

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．若存在不同时为零的实数k和t，使

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

且

x

⊥

y

．
（1）试求函数关系式k=f（t）；
（2）若t∈（0，+∞）时，不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据平面向量的数量积关系即可试求函数关系式k=f（t）；
（2）利用参数分离法将不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立进行转化，利用二次函数的图象和性质，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由题知：|

a

|=2，|

b

|=1，

a• b

=0-----------------------（2分）
∵

x

⊥

y

，则

x

•

y

=[

a

+(t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0，
整理可得：-k

a

2+t

a

•

b

-k(t2-3)

a

•

b

+t(t2-3)

b

2=-k

a

2+t(t2-3)

b

2=-4k+t(t2-3)=0，
∴k=

1

4

t(t2-3)(t≠0)．
（2）∵当t∈(0，+∞)时，不等式k≥

1

2

t2+

1

4

mt恒成立
∴

1

4

t(t2-3)≥

1

2

t2+

1

4

mt在t∈(0，+∞)上恒成立
即m≤t²-2t-3=（t-1）²-4在t∈（0，+∞）上恒成立，
∴m≤-4，
即实数m的取值范围是（-∞，-4]．

点评：本题主要考查函数恒成立问题已经数量积的应用，利用参数分离法是解决函数恒成立问题的基本方法．