Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求异面直线EF与AD₁所成角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD，通过证明四边形BDD₁B₁为平行四边形，证明BD∥B₁D₁，可证EF∥B₁D₁，再利用线面平行的判定定理证明EF∥平面CB₁D₁；
（2）连接B₁A，证明∠AD₁B₁为异面直线EF与AD₁所成角，解△AD₁B₁可得异面直线EF与AD₁所成的角．

解答： 解：（1）连接BD，∵E、F分别为棱AD、AB的中点．∴EF∥BD，
又DD₁∥BB₁且DD₁=BB₁，∴四边形BDD₁B₁为平行四边形，∴BD∥B₁D₁，
∴EF∥B₁D₁，又EF?平面CB₁D₁，∴EF∥平面CB₁D₁；
（2）连接B₁A，由（1）知EF∥B₁D₁，∴∠AD₁B₁为异面直线EF与AD₁所成角．
∵AD₁=B₁D₁=AB₁，
∴，∴∠AD₁B₁=60°，
即异面直线EF与AD₁所成角为60°．

点评：本题考查了线面平行的证明及异面直线所成角的求法，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，利用作-证-求的思路求角的常用方法．