Question

已知F为抛物线E：y²=2px（P＞0）的焦点，抛物线上点G的横坐标为2，且满足|GF|=3．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）M点的坐标为（2，0），过点F作斜率为₁K的直线与抛物线交于A、B两点，A、B两点的横坐标均不为2，连结AM、BM并延长交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为k₂，判断

k1

k2

是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由抛物线定义知GF=2+

p

2

=3，由此能求出抛物线方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则k1=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12-y22 4

=

4

y1+y2

，同理k2=

4

y3+y4

，由此利用直线方程结合已知条件能求出

k1

k2

=2．

解答： 解：（Ⅰ）由抛物线定义知GF=2+

p

2

=3，解得p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
则k1=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12-y22 4

=

4

y1+y2

，k2=

4

y3+y4

，
设AC所在的直线方程为y=m（x-2），
联立

y=m(x-2) y2=4x

，得my²-4y-8m=0，
∴y₁y₃=-8，同理，y₂y₄=-8，
∴

k1

k2

=

4 y1+y2

4 y3+y4

=

y3+y4

y1+y2

=

(- 8 y1 )+(- 8 y2 )

y1+y2

=

-8

y1y2

，
设直线AB的方程为y=k₁（x-1），
联立

y=k1(x-1) y2=4x

，得k1y2-4y-4k1=0，
∴y₁y₂=-4，
∴

k1

k2

=

-8

y1y2

=

-8

-4

=2．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意直线方程的合理运用．