Question

设f（x）=（1+x）ⁿ=C

0 n

+C

1 n

x+C

2 n

x²+…+C

n-1 n

x^n-1+C

n n

xⁿ（n是正整数），利用赋值法解决下列问题：
（1）求S₁=C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+…+C

n n

；
（2）n为偶数时，求S₂=C

1 n

+C

3 n

+C

5 n

+…+C

n-1 n

；
（3）n是3的倍数时，求S₃=C

2 n

+C

5 n

+C

8 n

+…+C

n-1 n

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用

专题：综合题,二项式定理

分析：（1）n=1，代入计算可得S₁=C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+…+C

n n

；
（2）n=-1，代入计算，结合（1）的结论，可求S₂=C

1 n

+C

3 n

+C

5 n

+…+C

n-1 n

；
（3）利用赋值法，结合二项式定理，即可求n是3的倍数时，求S₃=C

2 n

+C

5 n

+C

8 n

+…+C

n-1 n

．

解答： 解：令f(x)=(1+x)n=

C

0 n

+

C

1 n

x+…+

C

n n

xn，
（1）f(1)=2n=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

，所以S1=2n
（2）f(-1)=0n=

C

0 n

-

C

1 n

+…-

C

n-1 n

+

C

n n

，
所以S1=

C

1 n

+

C

3 n

+

C

5 n

+…+

C

n-1 n

=

f(1)-f(-1)

2

=2n-1
（3）记ω=-

1

2

+

3

2

i，则ω³=1．当n不能被3整除时，x²ⁿ+xⁿ+1=0，当3|n时，x²ⁿ+xⁿ+1=3，
记t0=

C

0 n

+

C

3 n

+…+

C

n n

，t1=

C

1 n

+

C

4 n

+…+

C

n-2 n

，t2=

C

2 n

+

C

5 n

+…+

C

n-1 n

，f(1)=2n=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

，f(ω)=(1+ω)n=

C

0 n

+ω

C

1 n

+…+ωn

C

n n

=

C

0 n

+ω

C

1 n

+ω2

C

2 n

+

C

3 n

+ω

C

4 n

+ω2

C

5 n

+…+

C

n n

，f(ω2)=(1+ω2)n=

C

0 n

+ω2

C

1 n

+…+ω2n

C

n n

=

C

0 n

+ω2

C

1 n

+ω

C

2 n

+

C

3 n

+ω2

C

4 n

+ω

C

5 n

+…+

C

n n

则

t0+t1+t2=2n t0+ωt1+ω2t2=(1+ω)n=(-ω2)n=(-1)n t0+ω2t1+ωt2=(1+ω2)n=(-ω)n=(-1)n

从上到下各式分别乘以1，ω，ω²，求得t2=

1

3

(2n+(-1)nω+(-1)nω2)=

1

3

(2n-(-1)n)．
即S3=

C

2 n

+

C

5 n

+…+

C

n-1 n

=

2n-(-1)n

3

．

点评：本题考查二项式定理，考查赋值法，考查学生的计算能力，有难度．