Question

如图，在半径为4，圆心角为变量2θ（0＜θ＜2π）的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相内切并与圆P外切的小圆Q，记圆Q的半径为y．
（1）试将y表示成θ的函数；
（2）求圆Q的半径y的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：直线与圆

分析：（1）设圆P的半径为x，圆Q的半径为y，圆P切OA于E，连结PE，将y表示成θ的函数．
（2）令sinθ=t，0＜t＜1，y=4•

t2-t

(1+t)2

，由此利用导数的性质能求出圆Q的半径的最大值为

1

2

，此时sinθ=

1

3

．

解答： 解：（1）设圆P的半径为x，圆Q的半径为y，
圆P切OA于E，连结PE，
则sinθ=

x

4-x

，∴x=

4sinθ

1+sinθ

，
同理，得y=

sinθ

1+sinθ

（4-2x）=

4sinθ(1-sinθ)

(1+sinθ)2

，
∴y=

4sinθ(1-sinθ)

(1+sinθ)2

．
（2）令sinθ=t，0＜t＜1，y=4•

t2-t

(1+t)2

，
则y′=4•

1-3t

(1+t)3

，
令y′=0，则t=

1

3

，
0＜t＜

1

3

时，y′＞0；

1

3

＜t＜1时，y′＜0．
∴当t=

1

3

时，y_极大值=y_max，
∴圆Q的半径的最大值为

1

2

，此时sinθ=

1

3

．

点评：本题考查函数的求法，考查圆的半径的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．