Question

已知x，y∈（-

1

2

，

1

2

），m∈R，m≠0，若

x3+sinx+2m=0 4y3+ 1 2 sin2y-m=0

，则

y

x

=

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：先将两个方程分别整理成2m=-x³-sinx与2m=（2y）³+sin2y的形式，则x可看成直线y=2m与函数y=-x³-sinx图象交点的横坐标，2y可看成直线y=2m与函数y=x³+sinx图象交点的横坐标；且函数y=-x³-sinx的图象与函数y=x³+sinx的图象都关于原点对称，且它们两个彼此关于x轴对称，则两函数图象关于y轴对称，所以两函数图象与直线y=2m的交点也关于y轴对称，据此可得它们的交点横坐标x₁，x₂互为相反数，则原题可解．

解答： 解：由

x3+sinx+2m=0 4y3+ 1 2 sin2y-m=0

，可得

2m=-x3-sinx 2m=(2y)3+sin2y

，
∴x可看成直线y=2m与函数y=-x³-sinx图象交点的横坐标，2y可看成直线y=2m与函数y=x³+sinx图象交点的横坐标；
又∵函数y=-x³-sinx与函数y=x³+sinx都是奇函数，所以它们的图象都关于原点对称，
而这两个函数实际上是y=f（x）与y=-f（x）间的关系，∴他两个函数图象关于x轴对称，
由以上可得函数y=-x³-sinx的图象与函数y=x³+sinx的图象关于y轴对称，
∴它们与直线y=2m（m≠0）的交点（介于x∈（-

1

2

，

1

2

）之间且不过原点）关于y轴对称，
∴x+2y=0且（xy≠0）
∴

y

x

=-

1

2

．
故答案为-

1

2

点评：这是一道利用函数思想来解决方程根的问题，要先把根看成某函数图象与x轴的交点横坐标或看成某两个函数图象交点的横坐标，再利用函数的思想结合函数的图象性质解决问题．