Question

18、如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁中点．
（1）求证：A₁C∥平面BDE；
（2）求证：平面C₁BD⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于O，连接EO，根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合E是AA₁中点和三角形中位线定理和线面平行的判定定理，我们易得A₁C∥平面BDE；
（2）根据正方体的几何特征，我们易判断BD⊥A₁C及BC₁⊥A₁C，结合线面垂直的判定定理，我们可得EO⊥平面BDC₁，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．

解答：证明：（1）连接AC交BD于O，连接EO．（2分）
在△AA₁C中，E、O均为中点．
∴EO∥A₁C，又EO?平面BDE．（4分）
∴A₁C∥平面BDE．（6分）
（2）依题意：BD⊥AC，BD⊥AA₁
∴BD⊥平面AA₁C
∴BD⊥A₁C（8分）
同理BC₁⊥A₁C
∴A₁C⊥平面BDC₁，又EO∥A₁C
∴EO⊥平面BDC₁．（12分）
又EO?平面BDE
∴平面C₁BD⊥平面BDE．（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及平面与平面垂直的判定，其中熟练掌握线面平行、面面垂直的判定定理及证明步骤是解答本题的关键．