Question

6．已知圆柱的底面半径为4，用与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求该椭圆的标准方程和离心率．

Answer 1

分析 根据圆柱的直径算出椭圆的短轴长，再由二面角的平面角等于30°，利用三角函数定义可算出椭圆的长轴．由此求截面椭圆的方程，进一步求出椭圆的离心率．

解答 解：∵圆柱的底面半径为4，∴椭圆的短轴2b=8，得b=4，
又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°，
∴cos30°=$\frac{8}{2a}$，得$a=\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{64}{3}}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
${c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}=\frac{64}{3}-16=\frac{16}{3}$，∴$c=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴椭圆的离心率为：e=$\frac{c}{a}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{2}$．

点评 本题以一个平面截圆柱，求载得椭圆的焦距，着重考查了平面与平面所成角的含义和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．