Question

如图所示，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e＝，斜率为2的直线l过点A(2,3)．

(1)求椭圆E的方程；
(2)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）＝1
（2）不存在，见解析

解：(1)设椭圆E的方程为＝1(a＞b＞0)，
由题意e＝＝，＝1，
又∵c²＝a²－b²，
解得：c＝2，a＝4，b＝2，
∴椭圆E的方程为＝1．
(2)假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P、Q，令P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，且PQ的中点为R(x₀，y₀)．
∵PQ⊥l，
∴k_PQ＝＝－，
又∵
两式相减得：．
∴＝－＝－×(－)＝，
即＝，③
又∵R(x₀，y₀)在直线l上，
∴y₀＝2x₀－1，④
由③④解得：x₀＝2，y₀＝3，
所以点R与点A是同一点，这与假设矛盾，
故椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点．