【题目】2017年5月，“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和网购.2017年末，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用.某商家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送台历.
（1）求获得台历是三人中至少有一人的红包超过5元的概率；
（2）统计一周内每天使用支付宝付款的人数
与商家每天的净利润
元，得到7组数据，如表所示，并作出了散点图.
（i）直接根据散点图判断，
与
哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型.（
的值取整数）
（ii）根据（i）的判断，建立关于的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到35时，商家当天的净利润.
参考数据：
|
|
|
|
22.86 | 194.29 | 268.86 | 3484.29 |
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）（ⅰ）见解析 （ⅱ）见解析
【解析】分析：（Ⅰ）
名顾客中红包超过5元的两人分别记为
，不足元的三人分别记为
，列举出从这名顾客中随机抽取3人，所有基本事件的总数，利用古典概型及其概率的计算公式即可求解.
（Ⅱ）（ⅰ）根据散点图可判断，选择
作为每天的净利润的回归方程类型比较适合.
（ⅱ）利用最小二乘法求得系数，求的回归系数，进而得到回归直线方程，即可作出预测.
详解：（Ⅰ）记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过5元”为事件M，5名顾客中红包超过5元的两人分别记为，不足5元的三人分别记为，从这5名顾客中随机抽取3人，共有抽取情况如下：
，共10种.
其中至少有一人的红包超过5元的是前9种情况，
所以
.
（Ⅱ）（ⅰ）根据散点图可判断，选择作为每天的净利润的回归方程类型比较适合.
（ⅱ）由最小二乘法求得系数
，
所以
所以
关于
的回归方程为
.
当
时，商家当天的净利润
元，
故使用支付宝付款的人数增加到35时，预计商家当天的净利润为352元.
文敬图书课时先锋系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】“微信运动”已经成为当下热门的健身方式，韩梅梅的微信朋友圈内有800为好友参与了“微信运动”.他随机抽取了50为微信好友（男、女各25人），统计其在某一天的走路步数.其中女性好友的走路步数数据记录如下：
12860 8320 10231 6734 7323 8430 3200 4543 11123 9860
8753 6454 7292 4850 10222 9734 7944 9117 6421 2980
1123 1786 2436 3876 4326
男性好友走路步数情况可以分为五个类别
（0-2000步）（说明：“0-2000”表示大于等于0，小于等于2000，下同），
（2001-5000）、
（5001-8000）、
（8001-10000步）、
（10001步及以上），且
三中类型的人数比例为
，将统计结果绘制如图所示的柱形图.
若某人一天的走路步数超过8000步则被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”.
（1）若以韩梅梅抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计韩梅梅的微信好友圈里参与“微信运动”的800名好友中，每天走路步数在5001-10000步的人数；
（2）请根据选取的样本数据完成下面的
列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | 25 | ||
女 | 25 | ||
总计 | 30 |
（3）若从韩梅梅当天选取的步数大于10000的好友中按男女比例分层选取5人进行身体状况调查，然后再从这5位好友中选取2人进行访谈，求至少有一位女性好友访谈的概率.
参考公式：
，其中
.
临界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明略；（2）直线
的方程为
，圆
的方程为
.或直线的方程为
，圆的方程为
试题分析：（1）设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，由斜率之积为
可得
，即得结论；（2）结合（1）的结论求得实数
的值，分类讨论即可求得直线的方程和圆的方程.
试题解析：（1）设
，
.
由
可得
，则
.
又
，故
.
因此
的斜率与
的斜率之积为
，所以.
故坐标原点
在圆上.
（2）由（1）可得
.
故圆心的坐标为
，圆的半径
.
由于圆过点
，因此
，故
，
即
，
由（1）可得
.
所以
，解得
或
.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为
，圆的半径为
，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为
，圆的半径为
，圆 的方程为.
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证
或说明中点在曲线内部.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数
．
（1）若
，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，
，求m的最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】（1）证明：
；
（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数
，使得
对所有实数x均成立，其中
均为整数，当n为奇数时，
，当n为偶数时，
；
（3）利用（2）的结论判断
是否为有理数？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占
，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．
（1）完成
列联表，并回答能否有
的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 | 没兴趣 | 合计 | |
男 | 55 | ||
女 | |||
合计 |
（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为
，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．
附表：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）
这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）.
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【题目】已知某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数,日销售量(单位:件)近似地满足: 
,日销售价格(单位:元)近似地满
足: 
(I)写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系;
(Ⅱ)当t等于多少时,日销售额S最大?并求出最大值
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个出售，每天可以卖出100个，若这种商品的售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．
（1）求售价为13元时每天的销售利润；
（2）求售价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求最大利润．
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