Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，A（-2，0），T（4，0），过点T任作直线l交椭圆于P，Q两点，连接AP，AQ交直线x=1于M，N，设点M，N的纵坐标为y₁，y₂，证明：y₁y₂为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：如图所示，设直线l的方程为x=my+4．P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系．直线AP的方程为：y=

y3

x3+2

(x+2)，令x=1，则y₁=

3y3

my3+6

；直线AQ的方程为：y=

y4

x4+2

(x+2)，令x=1，则y₂=

3y4

my4+6

．即可证明y₁y₂为定值．

解答： 解：如图所示，
设直线l的方程为x=my+4．
P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
联立

x=my+4 x2 4 + y2 3 =1

，
化为（3m²+4）y²+24my+36=0，
△＞0，化为m²＞4．
∴y₃+y₄=-

24m

3m2+4

，y₃y₄=

36

3m2+4

．
直线AP的方程为：y=

y3

x3+2

(x+2)，
令x=1，则y₁=

3y3

my3+6

；
直线AQ的方程为：y=

y4

x4+2

(x+2)，
令x=1，则y₂=

3y4

my4+6

．
∴y₁y₂=

9y3y4

m2y3y4+6m(y3+y4)+36

=

9×36 3m2+4

36m2 3m2+4 - 144m2 3m2+4 +36

=

9

4

为定值．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、定值问题，考查了推理能力和计算能力，属于难题．