Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面正方形ABCD为边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求异面直线AE与PD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）求点B到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （1）根据PC与平面PAD所成的角求出PD的大小，进而求PA的大小，从而建立空间直角坐标系，解答即可；
（2）利用等积法求点到面的距离即可．

解答 解：∵PA⊥底面ABCD，CD?面ABCD，
∴CD⊥PA，
又在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴PC与平面PAD所成的角为∠CPD，
故tan∠CPD=$\frac{CD}{PD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又CD=2，
∴PD=2$\sqrt{2}$，
PA²+AD²=PD²，
∴PA=2，
以A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则：

A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）
∴$\overrightarrow{AE}$=（2，1，0），$\overrightarrow{PD}=（0，2，-2）$，
∴cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以异面直线AE与PD所成角的大小为arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）∵V_B-PCD=V_P-BCD，设B到平面PCD的距离为d，则有：
$\frac{1}{3}d{S}_{△PCD}=\frac{1}{3}PA•{S}_{△BCD}$，
即：$\frac{1}{3}d•\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×2×2$，
解得d=$\sqrt{2}$，
所以点B到平面PCD的距离为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查线与面的夹角、直线与直线的夹角以及等积法，属于中档题．