Question

18．将（x+y+z+k）¹²展开式为多项式，经合并后共有多少个不同的项？

Answer 1

分析 利用组合模型求解该问题，恰当构造分组模型，利用组合法解决该问题．

解答 解：对于这个式子，可以知道必定会有形如qx^ay^bz^ck^d的式子出现，其中q∈R，a，b，c，d∈N
而且a+b+c+d=12，
构造16个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，共有分法${C}_{15}^{3}$种，
每一组中都去掉一个小球的数目分别作为（x+y+z+k）¹²的展开式中每一项中x，y，z，k各字母的次数．
小球分组模型与各项的次数是一一对应的．
故（x+y+z+k）¹²的展开式中，合并同类项之后的项数为${C}_{15}^{3}$．

点评 本题主要考查了二项展开式的系数特征，考查构造法解决该问题，关键要构造一个适当的组合模型，属于中档题．